İnsanlar, doğayı anlayabilmek ve yorumlama yapabilmek için matematiği oluşturmuşlardır. Birisi bir diğerine belli bir uzunluğu anlatabilmek için ölçüm birimlerini geliştirmiş, bir diğeri ise elindeki mal varlığını anlayabilmek için sayıları ortaya çıkarmıştır.  İşte bu şekilde büyük bir silsile ile matematik oluşmuş. Böylece bugün matematik milyarlarca hücreye bölünmüş ve her biri bir şeyleri anlamlandırabilmek için kendi içinde büyümüştür, öyle ki klasik fizikten modern fiziğe oradan kimya ve biyolojiye ve bunların büyüsünden oluşan mühendisliğe adeta temel olmuştur.

Bu büyülü dünyada sıkça duyduğumuz bir şeyden bahsedelim bugün: İntegral!

İntegrali hemen herkes hayatının bir döneminde duymuştur fakat nedir bu integral? Durup dururken değişkenin önündeki sayıyı tersleyip kendiyle çarpıp değişkenin üstünü bir artırmak mı? Bu gereksiz işlem akıllarda ne işimize yarayacak sorusunu getirmez mi ? İşte bugün yıllardır farklı bildiğimiz çoğu zaman gereksiz bir işlemden ibaret olduğunu düşündüğümüz integralin aslında ne olduğunu öğreneceğiz.

Dünyada her şey kelimelerin ahengi  üzerine kuruludur işte bu yüzden dil ve edebiyatla en alakasız olarak görülebilecek fen bilimleri bile aslında içinde kelimeler, dil ve edebiyat barındırır. Tabi  ki matematikte dilin nimetlerinden faydalanmıştır. İşte bu yüzden biz ilk olarak İntegrale kelime manası üzerinden gideceğiz . İntegral kelimesi dilimize İngilizceden, İngilizceye ise Fransızca intégral  kelimesinden geçmiştir. Çok yaygın kullanılmamakla birlikte asıl Türkçe karşılığı tümlevdir. Osmanlıca Türkçesinde ise mütemmem olarak karşımıza çıkar. Anlamı açısından baktığımızda hepsi aynı anlama gelen bu kelimeler tümleme, bütünleştirme, birleştirme manasında kullanılır. Aslında kelime manası integrali çok güzel özetlemektedir.

tumlev
İntegral kelimesinin Türkçe karşılığı tümlevdir. Osmanlıca Türkçesinde ise mütemmem olarak karşımıza çıkar.

İntegral, cebir açısından bakıldığında aslında bir toplama işlemidir. Yani iki artı iki eşittir dört eder gibi basit bir toplama işlemidir. Yalnız bu toplama işlemi öyle bir toplama işlemidir ki nesnel olarak bununla her şeyi toplayabilirsiniz. Bu her şeyi toplayabilme yeteneğini şöyle izah edelim; örneğin iki elmamız var; bir iki elma daha alırsak dört elma olur. Bu basit bir toplamadır, bunda hem fikiriz ama ya o elmaların yüzey alanını, hacmini veya kütlesini  öğrenmek istersek? İşte bu noktada integral devreye girer. Aslında integral bize bunları da toplama işlemi yaparak bulabileceğimizi söyler . Düşünün ki elmanın yüzeyinde ki bir hücrenin ölçüsünü bulup yüzeyindeki tüm hücrelerin ölçüsünü topluyorsunuz ve böylece elmanın yüzey alanını buluyorsunuz işte integral budur. Yani integral kare gibi şekli düzgün olmayan (karenin alanı iki kenarını çarpımıdır) ve kolayca alanı hesaplanamayan şeylerin alanını milyonlarca küçücük hesap edebileceğimiz parçacıklara (örneğin karelere) çevirerek bu alanları hesapladıktan sonra bu alanları toplama işlemidir. Bu toplama işlemi Riemann toplamları olarak bilinir. İşte integralin topladığı şeylerden sadece bir tanesine örnek verdik.

Size integralin gözle görülemeyen şeyleri bile toplayabildiğini göstermek amacıyla küçük bir örnek daha vermek istiyorum. Sıkça duyduğumuz FM veya AM terimleri vardır (Radyolarda sıklıkla karşılaşırız). Bunların açılımı Frequency modulation ve Amplitude modulation’dur . Yani frekans ve genlik modülasyonları. Modülasyon demek bir bilgi sinyalini (örneğin ses) bir taşıyıcı sinyalle (radyolarda ayarladığımız 103.5 gibi frekans ayarları) birleştirmek demektir. İşte bu noktada integral devreye girer. Taşıyıcı sinyali bilgi sinyaliyle her anında toplamamız gerekir ve bunu cebirsel olarak ancak integralle ifade edebiliriz. İşte buradaki işlemlerde kullandığımız integral ise konvolüsyon integral olarak adlandırılır. Görüldüğü gibi integralin yaptığı iş temelde bütünleştirme, birleştirme toplama olsa da bu bütünleştirme bir çok farklı forma girebilir.

Sonuç olarak integral basit bir toplama işleminden ibaret olsa da ezberlenmiş basit kurallara sığmayan aksine bilimde ezber bozan; bilişimin, elektroniğin, makinaların, yapıların, biyolojinin, ekonominin, istatistiğin her çeşit bilimin ve mühendisliğin içinde kullanılan en temel matematiksel olaylardan biridir.

Ahmet Cemal KURTULMUŞ